MATEMÁTICA EN LINEA DE 11°: LIMITE DE UNA FUNCIÓN

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Sea a un punto de un intervalo abierto I, sea f(x) una función definida en I excepto posiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a, es un real L y se escribe:

, si y solamente si, para cada

, existe un

, tal que para todo

, si

entonces,

(1)

Observación

La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes:

La figura 1. Ilustra gráficamente el significado de e y d en esta última implicación. Observe que para aquellos x que pertenecen al intervalo:

, los correspondientes f(x) pertenecen al intervalo:

Fig. 1

Ejemplo
Considérese la función definida por:

; x

1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproximaf(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

En las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

x	f(x)
0	1
0.3	1.6
0.5	2 *
0.75	2.5
0.9	2.8
0.95	2.9
0.99	2.98
0.995	2.99 **
0.999	2.998
0.9995	2.999
0.9999	2.9998
.	.
.	.
.	.
1.000	no definido
.	.
.	.
.	.

Tabla 1

x	f(x)
2	5
1.7	4.4
1.5	4 *
1.25	3.5
1.1	3.2
1.05	3.1
1.01	3.02
1.005	3.01 **
1.001	3.002
1.0005	3.001
1.0001	3.0002
.	.
.	.
.	.
1.000	no definido
.	.
.	.
.	.

Tabla 2

La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de x, se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: