MATEMÁTICA EN LINEA DE 11°: 2015

domingo, 13 de septiembre de 2015

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ (donde a₀, a₁, a₂,..., a_n son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función

Veamos:

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

Vídeo explicativo de como determinar el dominio y rango de una función

Vídeo 1

Vídeo 2

Vídeo 3

sábado, 12 de septiembre de 2015

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Sea a un punto de un intervalo abierto I, sea f(x) una función definida en I excepto posiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a, es un real L y se escribe:

, si y solamente si, para cada

, existe un

, tal que para todo

, si

entonces,

(1)

Observación

La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes:

La figura 1. Ilustra gráficamente el significado de e y d en esta última implicación. Observe que para aquellos x que pertenecen al intervalo:

, los correspondientes f(x) pertenecen al intervalo:

Fig. 1

Ejemplo
Considérese la función definida por:

; x

1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproximaf(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

En las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

x	f(x)
0	1
0.3	1.6
0.5	2 *
0.75	2.5
0.9	2.8
0.95	2.9
0.99	2.98
0.995	2.99 **
0.999	2.998
0.9995	2.999
0.9999	2.9998
.	.
.	.
.	.
1.000	no definido
.	.
.	.
.	.

Tabla 1

x	f(x)
2	5
1.7	4.4
1.5	4 *
1.25	3.5
1.1	3.2
1.05	3.1
1.01	3.02
1.005	3.01 **
1.001	3.002
1.0005	3.001
1.0001	3.0002
.	.
.	.
.	.
1.000	no definido
.	.
.	.
.	.

Tabla 2

La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de x, se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: